Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego

Widzisz wypowiedzi znalezione dla słów: Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego





Temat: zbieżność zmiennych losowych


Mam takie zadanie, które nie che wyjśc (może coś źle przepisałem ale
wątpię):

Niech dany jest ciąg xn niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
N(0,1).
Ciąg zmiennych losowych yn definiuje jako yn=max{x1, x2, ..., xn).
Ciąg zn = n(1-yn).
Udowodnić że ciąg dystrybuant Zn jest słabo zbieżny do dystrybuanty
rozkładu
wykładniczego z parametrem 1.


Z treści zadania wynika, że:
Ciąg yn powstaje jako wybór max z n różnych realizacji wektora losowego
y1=max{x1, x2, ..., xn)=xi1 - w pierwszym wektorze losowym
y2=max{x1, x2, ..., xn)=xi2 - w drugim wektorze losowym
.........
yn=max{x1, x2, ..., xn)=xin - w n-tym wektorze losowym

i każdy jego element podlega rozkładowi N(0,1), gdyż jest reprezentowany
przez element ciągu {xn} o tej własności.
Zmienna Zn=n(1-Yn)=n-nYn jest więc w istocie przekształceniem liniowym
zmiennej Xi, z innym tylko uporządkowaniem niż ciąg wyjściowy.
Rozumowałbym tak:
skoro Xi~ N(0,1), to Yn=Xin ~ N(0,1) i dalej nYn ~ N(0,1) a tym samym -nYn ~
N(0,1) i w końcu
n-nYn ~ N(n-0,1)=N(n,1). Wykorzystałem tu znane właściwości operatorów EX i
D2X
Wniosek: Zn ma rozkład N(n,1) tzn.
Zn ~ Fn(x)=1/sqrt(2pi)*int_[-oo,x] e^(-0.5(t-n)^2)dt
czyli nie jest n-tą potęgą dystrybuanty rozkładu normalnego
standaryzowanego, ale nią samą przesuniętą do punktu x=n jako kwantylem 50%.
Inaczej mówiąc EZn=n. Dystrybuanta taka dla n-oo zmierza do funkcji Foo(x)=
0 dla każdego x i nie może być w ogóle uznana za dystrybuantę.
Reasumując: W moim odczuciu coś jest źle przepisane w tym zadaniu, bo
powinno się było oczekiwać F(x)=1-exp(-x), gdyż tak rozumiem dystrybuantę
rozkładu wykładniczego z paramatrem lambda=1.

Z drugiej strony, aż kusi taka zabawa: 1-(1-x/n)^n --1-exp(-x) i jeśli
mnie przekonasz, że tam po drodze powstaje iloczyn pewnych czynników, to
nierówności Yn<x mogą być przekształcone w taki sposób, aby uzyskać coś na
podobieństwo, bo:
Yn<x <=nYn<nx <=-nYn-nx <=n-nYnn-nx <=Zn=n(1-Yn)n(1-x)
czyli:
FYn(x)=P(Yn<x)=P(Znn(1-x))=1-P(Zn<=n(1-x))=1-FZn(n(1-x))
i po zamianie argumentów z=n(1-x) -x=1-z/n
FZn(z)=1-FYn(1-z/n) a Yn ma rozkład N(0,1) jak to pokazano wyżej. Zauważ, że
dla n-oo mamy
FZoo(z)=lim{1-FYn(1-z/n)}=1-FYoo(1)=1-1=0 (czyli ten sam wniosek jak wyżej)
a byłoby świetnie, gdyby
FZn(z)=1-(1-z/n)(1-z/n)(1-z/n)(1-z/n)(1-z/n)...(1-z/n)=1-(1-z/n)^n ---
1-exp(-z)

WuKa

Przeczytaj resztę odpowiedzi z tematu





Temat: dystrybuanta rozkladu normalnego standaryzowanego
czy da sie znalezc wartosc dystrybuanty jw dla wartosci ujemnej?
w tablicach znajduja sie tylko dla dodatnich, a ja mam wyliczyc dla wartosci
logarytmu naturalnego ln (1550/1600)
pomocy!!!
Przeczytaj resztę odpowiedzi z tematu
Copyright (c) 2009 Życiowe Refleksje | Błąd | Powered by Wordpress. Fresh News Theme by WooThemes - Premium Wordpress Themes.